成果分享：量子纠缠可探测性的基本限制
本文讨论了纠缠探测任务的根本限制，证明了不存在既有效，又容易实现的基于单份量子态操作的纠缠判据。本工作由清华大学研究人员完成，点此查看原文。
标题：Fundamental Limitation on the Detectability of Entanglement
作 者：Pengyu Liu，Zhenhuan Liu，Shu Chen，Xiongfeng Ma
ArXiv：2208.02518
背景
量子纠缠(Quantum Entanglement)是众多量子信息任务的重要资源，纠缠探测也是衡量量子设备质量的重要方法。在量子信息理论的发展中，人们提出了许多种纠缠判据(Entanglement Criteria)，例如最常用的纠缠见证（Entanglement Witness， EW），部分转置(Positive Partial Transposition，PPT）等。这里，纠缠判据被定义为一种机器，输入一个量子态的多份拷贝，输出“成功”或者“失败”。当这个机器输出“成功”意味着输入的量子态一定纠缠，输出失败则意味着不确定输入态是否纠缠。我们发现，现有的纠缠判据要么在混态情况下表现不好(如EW)，要么实验验证极为困难(如PPT)。纠缠探测任务的难以实现与纠缠态几乎占满全部态空间的事实似乎有矛盾。
在本工作中，我们对上述观察进行了理论的研究。通过一种系统的方法来评估纠缠判据的探测能力，证明了纠缠判据的效率和有效性之间有一个基本的取舍关系。对于一个与维环境耦合的随机量子态，我们证明了，任何基于单份量子态测量(Single-copy Measurement)的纠缠判据，如果想要高效地探测到纠缠（也就是说，如果被探测态是一个纠缠态，我们希望可以以一个常数概率确定），都需要指数多的测量次数。如果固定纠缠判据需要的测量数，该判据的探测效率将随着环境的尺度双指数下降。此外，如果允许多拷贝(Mutli-copy Operation)联合测量，纠缠判据的有效性可以得到指数级的提高，这意味着联合操作在纠缠探测这一任务中存在量子优势。
定义
纠缠态
一个两体纠缠态是不能被写成可分态(Separable)的态，
我们把所有可分态的集合称为， 纠缠态的集合称为。
纠缠见证
纠缠见证(Entanglement Witness， EW)是一类特殊的算符， 对于所有的可分态， 它的期望值大于。
若该条件被违反，则必然是纠缠态。
可信纠缠
可信纠缠(Faithful Entanglement)是指在维度为的二体空间中，可以被形如这样的EW探测的态，其中是一个最大纠缠态[2]。 同时，这样的EW也被称为可信EW。
正定映射判据
正定映射指的是从矩阵到矩阵的映射，并使矩阵保持正定性，即
由定义可知， 对系统上的可分态
若该条件被违反，则必然是纠缠态。
部分转置判据
部分转置是正定映射判据的一种，利用了转置这一正定映射
由此产生的纠缠判据为
若该条件被违反，则必然是纠缠态。
约化密度矩阵分布
密度矩阵不具有群结构，因而没有自然的概率分布。我们定义为上密度矩阵的分布， 它是由一个更大系统的纯态上的均匀分布约化得来的。其中和的维度分别为和。一个满足分布的态可以被生成， 其中是一个在上均匀分布(Haar-measured)的纯态。
更明确地说，我们研究的是在一个两体系统内的纠缠，而系统是它们的纯化，维度为。复合系统作为一个整体处于随机纯态。系统可被视为的环境，可能代表一些不可控制的噪声或我们不关心的系统。这样的复合系统经常出现在多体物理学的研究中。
单拷贝测量与联合测量
受到量子力学基本原理和当前技术的限制，只有形如的值可以被高效测量，我们称这种测量为单拷贝测量；若能测量形如的量，我们称为多拷贝测量。
主要定理
定理1 [效率与效果的限制，非正式]
为了探测与维环境耦合的随机态的纠缠，任何可以用个单拷贝可观测量测量进行实验验证的纠缠判据，要么
- 低效率: 判据需要次测量来验证，或者
- 低效果: 即使量子态是纠缠的，判据只以的概率探测到纠缠。
下面我们按照有限个EW无限多EW任意单拷贝判据的顺序对定理1进行证明。
有限个EW
根据之前定义的量子态分布，对于单个纠缠见证(EW)，我们可以定义它的探测能力为
不失一般性地，从现在开始，我们假设两个子系统和的维度相等，。这一定义的一个最大问题是，按照随机挑选的量子态并不一定均为纠缠态，更为自然的探测能力的定义应该是以概率挑选的所有纠缠态中可以被探测到的态的比例。然而，根据已有结论，当时，按照分布的态以渐进概率纠缠[3]。我们将始终假定，这样的定义也可以被看作是探测到的态与所有纠缠态的比率。
利用概率论中的Laurent-Massart[4]引理，我们可以证明如下定理
定理2[EW的探测能力]
EW的探测能力随着环境维度至少指数下降
其中 [5]是一个和有关的参数。
这一定理可以用下图进行形象化理解。在这里，我们使用泡利-刘维尔(Pauli-Liouville)表示，将密度矩阵和EW表示为算符空间中的向量。表示轴，而轴代表其他泡利基之一。观测值的期望值可以通过态向量和观测向量的内积来计算。由于归一化条件，密度矩阵位于一个与轴正交的超平面内。我们用红色和灰色来代表纠缠态和可分态。EW可以探测到那些与EW矢量成钝角的态，图中标为黄色。直觉上，和最大混合态之间的距离小于某个阈值的态都是可分的，这使得合法的EW与轴的角度应该大于某个常数。即有一个最小值。可以证明，这个最小值即为。不失一般性地，我们假设所有的EW都满足归一化条件，。因此，所有的EW都位于以原点为中心的球体中，由虚线圆表示。由于的约束，有效的EW都在浅绿色区域内。给定一个EW，可以探测到的态位于态空间的一个固定区域内。当增加时，由红色深浅代表的态分布将向最大混合态集中，使得黄色区域覆盖的态比例相应减少。
我们还进行了数值实验，如下图所示。我们在不同的与的取值下根据分布生成众多随机态，并使用两种EW来探测：PPT类型EW，和可信EW，。从图a）中可以发现，所有类型的EW的探测能力都随着呈指数衰减。此外，的可信EW和PPT-EW的斜率几乎相同，这和定理的预测相符，因为这三个EW的。的忠实EW的斜率比其他三个EW小，反映了忠实EW的值随系统维度的增加而增加。在图b）中，我们研究了探测能力与系统维度之间的关系。我们可以发现，当增加系统维度时，PPT-EW的探测能力没有明显变化。相比之下，忠实EW的探测能力显示出指数衰减的行为，而且斜率随着的增加而减少。这些现象都符合我们的预测。
对于有限多个EW的集合， 我们可以定义
利用布尔不等式(Union Bound)，可以证明其探测能力不高于一个EW的倍。因此，如果想利用有限多EW的集合来以常数概率探测纠缠态，所需要的独立EW的个数将正比于，这是一个无法接受的资源消耗。
参数化纠缠见证的探测能力
在理论上，还有许多与EW概念紧密相关的纠缠判据。比如正定映射判据和可信纠缠都相当于无限多的EW。因此，前面提到的公式并不直接适用。为了使前面的定理适应于无限的情况，我们引入一个新的概念，参数化EW。
定义: 参数化EW
参数化EW是无穷多个EW的集合，可以被一个从个实参数到上算符的映射来表示。满足:
其中满足归一化条件，是参数的定义域，使得是合法的EW。可以被参数化EW探测，当且仅当
相应地，我们也可以定义参数化EW的探测能力：
根据这一定义，结合粗粒化技术，我们可以证明:
定理3 [参数化EW的探测能力]
给定一个-李普希兹（Lipschits）映射，-李普希兹指的是满足以下条件
由此映射定义出的参数化EW，在超过一定阈值后，其探测能力至少随呈指数级衰减。
其中，是中实数参数的数量， 其中 。
参数化EW有极强的表达能力，例如正定映射判据和可信纠缠都可以以一种遍历纯态的方式进行表达，而纯态很容易被参数化。例如对于可信纠缠，我们可以定义一个参数化EW来将其表达：
这一参数化EW已经被归一化，是最大纠缠态，含有个参数。并且可以证明，是李普希兹的，。于是，根据定理三，我们有：
推论1 [可信纠缠态的比例]
忠实纠缠态的集合在态空间中具有指数小的比例。
其中是全体可信纠缠态的集合，，。也就是说，在的时候，使用可信EW就很难探测到纠缠了。
任意单拷贝判据
除了正定映射和忠实判据，还有很多针对不同场景设计的纠缠判据，比如基于矩，不确定性关系，以及机器学习等的纠缠判据。它们可能使用复杂的数学和后处理来探测纠缠。我们提出一个具有单拷贝实现的纠缠判据的一般定义。
单拷贝判据
若一个判据可以被一组可观测量验证，我们说这个判据是有单拷贝实现的。测量后，我们可以获得如下结果，，并以此建立态的可行域
如果
那么是纠缠的。
根据这一定义，我们定义单拷贝判据的探测能力为:
这一单拷贝纠缠判据的定义其实是在给定可观测量集合情况下的最强形式，因为实际情况中，的判断是非常困难的，很多常用的单拷贝纠缠判据都会利用一些形式较为简单的条件来近似这一条件。所以，我们这里给出的定义其实可以给出很多单拷贝纠缠判据探测能力的上界。
不失一般性地，我们总是可以假设所有的观测变量都是相互正交的，并且是归一化的，即。如果不满足这一条件，我们总是可以对可观测量进行一定的正交化操作。我们证明，如果一个态可以被包含个观测量的单拷贝判据探测到，那么它就可以被一个具有个参数的-李普希兹的参数化EW探测。
因此，直接采用定理3，我们可以给出的上界。
定理4 [单拷贝判据的探测能力]
任意利用个观测量的单拷贝判据的探测能力为:
其中，。
这一定理就是定理一的严格形式。可以发现，如果我们想让单拷贝纠缠判据的探测能力是一个常数，那么所需要的可观测量数量至少为。而若可观测量数量并不能随着增长的话，给定单拷贝纠缠判据的探测能力就会随着指数下降。
注意到前文提到，如果我们所选取的可观测量均为EW而不进行后处理，则为了高效探测纠缠，需要的EW数量与成指数关系。而若我们可以更加巧妙地选取可观测量并进行后处理，则所需要数量只会与成线性关系，相比于EW方案有指数级别的加速。
我们数值模拟了几个非线性判据的探测能力，如纯度（Purity），Fisher信息，基于部分转置的矩（记为）和基于CCNR（Computable Cross Norm Criterion）的矩（记为）,具体的讨论可以查看原文。这些判据都有与无关的资源的单拷贝实现。因此，从图中可以发现，当较大时，这四个判据的探测能力随呈指数衰减，这与定理相符。
在指数衰减期之前，他们的探测能力都保持不变。在附录中，我们详细分析了这些阈值，并在数值上发现它们都与系统维度有多项式关系。这些观察结果解释了为什么这四个判据的验证需要指数级的资源。如果不局限于单拷贝操作，其中一些判据只需要有限个多拷贝观测就可验证，这意味着多拷贝操作在纠缠探测任务中具有量子优势。
我们可以在一些特殊情况下证明这种优势。设，因为系统和是对称的，和的分布完全相同。因此，使用纯度判据，即，纯度判据探测能力为，而且该判据可以只用一个双拷贝观测值来验证：，其中是交换算符。可以总结如下
命题1 [纠缠探测的量子优势]
考虑一个遵循分布的态，并且。在只有单拷贝测量的情况下，任何探测能力大于的判据都需要个观测量。然而，如果允许多拷贝测量，则只需一个双拷贝测量就可以达到的探测能力。
总结与展望
本文讨论了纠缠探测任务的根本限制，证明了不存在既有效，又容易实现的基于单份量子态操作的纠缠判据。未来的改进方向包括
- 依据本文的结论设计出更多实用的探测判据。
- 参数化更多的纠缠判据。
- 允许纠缠判据有较小的假阳性概率，即把一个可分态误判为纠缠态，探究本文结论是否仍然成立。
[1] P. Liu, Z. Liu, S. Chen and X. Ma, arXiv preprint arXiv:2208.02518 (2022)
[2] O. Guhne, Y. Mao, and X.-D. Yu, Phys. Rev. Lett. 126, 140503 (2021)
[3] G. Aubrun and I. Nechita, Journal of mathematical physics 53, 102210 (2012)
[4] B. Laurent and P. Massart, The Annals of Statistics 28, 1302 (2000)
[5] N. Johnston and E. Patterson, Linear Algebra and its Applications 550, 1 (2018)
本文略去了部分细节，感兴趣的读者可以查阅全文。