成果分享：利用指标轮换密度矩阵高阶矩探测多体纠缠
文章介绍了一种多体纠缠探测以及度量的新框架，由清华大学以及柏林自由大学研究人员合作完成，点此查看原文。
标题：Detecting entanglement in quantum many-body systems via permutation moments
作 者：Zhenhuan Liu, Yifan Tang, Hao Dai, Pengyu Liu, Shu Chen, Xiongfeng Ma
ArXiv: 2203.08391
背景
量子纠缠（Quantum Entanglement）是众多量子信息任务的重要资源，也是量子多体物理，凝聚态物理以及量子引力研究的重要手段。在过去三十余年量子信息理论的发展中，人们对两体纠缠已经有了非常深入的认识，发展出了众多两体纠缠探测以及量化方案，例如最常用的纠缠见证（Entanglement Witness），基于密度矩阵偏转置的PPT（Positive Partial Transposition）判据以及由此衍生出的两体纠缠度量——量子负性（Quantum Negativity）。然而，多体纠缠相比于两体纠缠拥有更复杂的结构，大多数两体纠缠的探测以及量化方案并不能被直接拓展到多体纠缠领域，纠缠见证虽然在多体纠缠中仍有作用，但是其探测能力高度依赖于对量子态的先验信息，对于有噪声的系统以及很多理论物理研究的应用场景纠缠见证的能力都十分有限。
在本工作中，我们发展了一套系统的探测以及量化多体纠缠的框架，并且基于当前的量子设备设计了其实验实现方案。这一方案基于一种更加广义的密度矩阵偏转置操作，并且可以被拓展到纠缠结构探测领域。
定义
一个体纠缠态 是不能被写为体可分（Separable）态，也就是
的量子态。其中代表一组概率分布，代表第个子系统上的密度矩阵。将用外积形式写出：
其中代表的行指标，代表列指标，与分别代表第个子系统的行指标与列指标。用代表指标轮换操作，其作用在上的效果
其中是阶置换群的一个元素。为了表示方便，后面我们用来指代。可以证明【2】，对于体可分态，它总是满足
其中是的奇异值。这一多体纠缠判据被称为指标轮换判据（Index Permutation Criteria）。在两体情况下，如果我们将选择为对换操作或，指标轮换判据就等价于两体纠缠探测中常用的PPT【3】和CCNR【4】（Computable Cross Norm Criterion）判据。
纠缠探测思路
虽然指标轮换判据是一类应用广泛并且探测能力强的判据，但是由于矩阵的奇异值分解是一种高度非线性的操作，在实际物理系统中对其进行测量往往需要通过量子态层析（Quantum Tomography）这样的非常消耗资源的方式。为了使指标轮换判据易于实验实现，一个自然的思路是通过测量其高阶矩
来给出的下界，通过比较下界与1之间的关系来判断纠缠。这一判据虽然严格比原始版本的指标轮换判据弱，但是其实验实现并不需要量子态层析，相比于原始指标轮换判据更加节省实验资源。另外，相比于纠缠见证等传统多体纠缠方案，这一方案不依赖于量子态先验信息，在一些实际物理系统中其探测能力有明显的优势。
高阶矩测量
我们发现，在一个指标轮换操作中，所有子系统可以根据其两个指标的位置转换方式被分为四类：T1类型的子系统其行指标在中依然保持为行指标，列指标在中依然保持为列指标；T2类型的子系统其行指标在中变为列指标，其列指标在中变为行指标；R1类型的子系统其行指标与列指标在中均变为行指标；R2类型的子系统其行指标与列指标在中均变为列指标。这四种不同的子系统在计算时具有不同的缩并规则，如下图所示，我们稍后将给出证明。
对于指标轮换操作，我们证明了其一个有趣的性质：给定体量子态，与有一种独特的镜面对称性质，我们用图二来进行展示：
可以发现，与关于其中间的一面镜子是镜像对称了。这一性质保证了两点，第一，对于来说是T1以及T2类型的子系统相对于来说也是T1以及T2类型的；对于来说是R1类型的子系统对于来说变成了R2类型，而对于来说是R2类型的子系统对于来说变成了R1类型。第二，这一镜面对称性质保证了在做计算时，指标缩并只发生在相同的子系统之间。
根据指标轮换的这些性质，我们发现，在中共有个量子态，如果把这些量子态顺序排成一排，R类型的子系统只会和自己左边或右边的一个量子态的相同子系统进行指标缩并；而T类型的子系统会与自己两边的量子态的相同子系统进行缩并。这一发现可以总结为下面的定理：
定理一：
对于一个体量子态来说，可以被表示为份量子态上进行的一个可观测量测量：
对于T1类型的子系统来说，，对于T2类型的子系统来说，。这里与分别代表顺序与逆序轮换算符。对于R1类型的子系统，，对于R2类型的子系统，，这里代表在第份量子态和第份量子态之间的SWAP算符，也就是对换算符。
然而，依然是一个非常全局化的算符，联合测量并不容易。然而，注意到对换操作是置换群的生成元，于是通过引入一个额外的量子比特，我们可以设计一个只依赖于控制-对换操作（Control-SWAP）的量子线路对进行测量，如图三所示：
除此之外，利用近期发展起来的随机测量框架【5，6】，我们还可以设计基于单份量子态操作的测量高阶矩的实验方案，我们可以证明，这些实验方案在某些情况下的实验复杂度相比于某些传统方案有显著降低。
优化问题求解
证明了可以被有效测定之后，我们需要根据这些高阶矩的信息给出一阶矩的最小值，原始优化问题可以写为：
其中代表奇异值的数量，一般与系统维度相同数量级，故原始优化问题的求解极度复杂。然而，利用拉格朗日乘子方法，我们可以证明，以上优化问题的解满足所有中只有个非零的值，于是以上优化问题可以被大幅度简化：
特别的，在的时候，以上优化问题存在解析解。
于是我们的多体纠缠探测框架可以被总结为：对于一个体可分态，其满足
探测流程可以被总结为图四。给定一个体量子态，首先我们选择一个特定的指标置换操作，它的模有一个相应的多体纠缠临界（一般来说是1）。为了估计它的模，我们根据具体实验能力，测量一系列高阶矩，并用这些矩求解模的下界。如果这一下界高于纠缠临界，则相应量子态是纠缠的，如果低于纠缠临界，我们可以选择测量更高阶矩从而给出更紧的下界，或者换一个指标置换操作，重复这一步骤。
物理模拟简介
我们进行了大量物理系统模拟来论证我们提出的纠缠探测框架的有效性。首先，我们的框架不止在多体纠缠探测中可以起到作用，在两体纠缠领域也可以给出新的，基于密度矩阵矩的纠缠判据。在图五中，我们用一个量子热化过程，体现出了我们新的两体纠缠判据相比于现有的基于矩的纠缠判据的优越性。
除此之外，通过前文的叙述我们可以看出，我们的纠缠探测框架的核心参量，具有清晰的物理意义，类比量子负性（Quantum Negativity），我们相信也可以作为一种量子纠缠的度量，而不仅仅是一种判据。量子动力学中，量子热化（Quantum Thermalization）与多体局域化（Many-Body Localization）是两种不同的量子动力学相，区分它们的一个重要的特征是其本征态的纠缠特征。热化相的哈密顿量其本征态纠缠满足体积律（Volume Law），而多体局域化哈密顿量的本征态往往满足面积律（Area Law）。我们选取了一个被证明具有热化-多体局域化相变的哈密顿量，使用本工作中定义的量，作用在其中间本征态上，成功观察到了在相变过程中本征态纠缠从体积律变为面积率的特征。体现在图六中即为增大哈密顿量中的无序项强度（W）时，从正比于A系统大小逐渐转变为与A系统大小无关。这一证据从侧面反映出有作为纠缠度量的潜质。
总结与展望
在这一工作中，我们提出了一套完整的多体纠缠探测框架，包含不依赖于先验信息的多体纠缠判据，以及相应的高效实验实现方案。通过实际物理系统的模拟，我们展示了我们框架的探测能力，以及其作为纠缠度量的潜力。在原文中，我们还证明了这一框架还可以被拓展到多体纠缠结构（Entanglement Structure）的探测中，这是比多体纠缠是否存在本身更加复杂的任务。我们的工作将两体纠缠中基于偏转置密度矩阵矩的纠缠探测方案拓展到多体量子态，为多体纠缠的研究提供了新的，有效的工具。
本文略去了部分细节，感兴趣的读者可以查阅原文。
【1】Liu Z, Tang Y, Dai H, et al. Detecting entanglement in quantum many-body systems via permutation moments[J]. arXiv preprint arXiv:2203.08391, 2022.
【2】Horodecki M, Horodecki P, Horodecki R. Separability of mixed quantum states: linear contractions and permutation criteria[J]. Open Systems & Information Dynamics, 2006, 13(1): 103-111.
【3】Peres A. Separability criterion for density matrices[J]. Physical Review Letters, 1996, 77(8): 1413.
【4】Chen K, Wu L A. A matrix realignment method for recognizing entanglement[J]. arXiv preprint quant-ph/0205017, 2002.
【5】Elben A, Vermersch B, Roos C F, et al. Statistical correlations between locally randomized measurements: A toolbox for probing entanglement in many-body quantum states[J]. Physical Review A, 2019, 99(5): 052323.
【6】Huang H Y, Kueng R, Preskill J. Predicting many properties of a quantum system from very few measurements[J]. Nature Physics, 2020, 16(10): 1050-1057.